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柯西序列（柯西序列定义实数）
老井百科
2022-10-06
【头条资讯】
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摘要本篇文章给大家谈谈柯西序列，以及柯西序列定义实数对应的知识点，希望对各位有所帮助，不要忘了收藏本站喔。本文目录一览：1、什么是柯西准则2、
本篇文章给大家谈谈柯西序列，以及柯西序列定义实数对应的知识点，希望对各位有所帮助，不要忘了收藏本站喔。
本文目录一览：
什么是柯西准则
柯西准则：在大于某个特定的项数n之后，任选两个项的绝对值总会小于一个数(该数值不确定，但恒大于零)，则这个数列就是基本数列(收敛数列)。
数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当mN，n N时，且m≠n，有
我们把满足该条件的{x}称为柯西序列，那么上述定理可表述成：数列{x}收敛，当且仅当它是一个柯西序列。
该准则的几何意义表示，数列{x}收敛的充分必要条件是：该数列中的元素随着序数的增加而愈发靠近，即足够靠后的任意两项都无限接近。
扩展资料：
柯西准则证明
1、必要性
设
，则
，当m,nN时，有
那么，
2、充分性
由于数列的柯西收敛准则是实数连续性的体现之一，所以用实数公理——戴德金定理证明{xn}收敛。
首先证明柯西序列是有界的。根据柯西序列的定义，对任意ε0，存在正整数N，当m,nN时，有|xn-xm|ε。
于是取m=N+1，则当nN时，|xn-xN+1|ε。
解得xN+1-εxnxN+1+ε，即当nN时，{xn}既有上界又有下界，所以是有界的。
向上述数列中添加{xn}的前N项得到{xn}本身，则由于前N项都是确定的实数，不会改变{xn}的有界性（即使此时{xn}的上、下界发生变化）。故对任意正整数n，{xn}都是有界的。
其次证明柯西序列收敛。设{xn}⊆[a,b]，有一个实数集A，A中的任一元素c满足：区间(-∞,c)中最多有{xn}中的有限项（注意用词“最多”，意味着可以有0项），而{xn}中的无限项都落在[c,+∞)。并把A在R中的补集设为B，则：
①由取法可知a∈A，并且显然b∈B。即A和B都是非空数集。
②A∪B=R。
③根据集合A、B的定义，A中任意元素都小于B中的任意元素。
由戴德金定理得，存在唯一实数η，使η要么是A中的最大值，要么是B中的最小值。
因为η是A和B的分界点
所以
④由A的定义可知，
根据已知条件，当m,nN时，|xn-xm|ε
于是xm-εxnxm+ε。联立④中的不等式，可得到η-2εxnη+2ε。
也就是当nN时，不等式|xn-η|2ε成立
所以
参考资料来源：百度百科-柯西极限存在准则
请帮忙证明一般度量空间中柯西序列的极限一定存在
(1)、首先证明Cauchy列有界
取ε=1,根据Cauchy列定义，取自然数N，当nN时有c
|a(n)-a(N)|ε=1
由此得：
|a(n)|=|a(n)-a(N)+a(N)|=|a(n)-a(N)|+|a(N)|1+|a(N)|
(通俗理解，a(n)无论怎么样也大不过a(N)绝对值加1，显然根据经验这是有界的。但数学里需要严格的表达，下面因为N前的N-1个项，有最大值，所以得出了有界).
令：
M=Max{|a(1),a(2),……,|a(N)|,|a(N)|+1}
这样就证明了，对于任何n都有a(n)=M。
所以Cauchy列有界。
（2)、其次在证明收敛
因为Cauchy列有界，所以根据Bozlano-Weierstrass定理（有界数列有收敛子列）存在一个子列aj(n)以A为极限。那么下面就是要证明这个极限A也就是是Cauchy列的极限。（注意这种证明方法是实数中常用的方法：先取点性质，然后根据实数稠密性，考虑点领域的性质，然后就可以证明整个实数域的性质了）
因为Cauchy列{a(n)}的定义，对于任意的ε0，都存在N,使得m、nN时有
|a(m)-a(n)|ε/2
取子列{aj(n)}中一个j(k),其中kN,使得
|aj(k)-A|ε/2
因为j(k)=kN,所以凡是nN时，我们有
|a(n)-A|=|a(n)-aj(k)|+|aj(k)-A|ε/2+ε/2=ε
这样就证明了Cauchy列收敛于A.
即得结果：Cauchy列收敛
怎么证明一个数列是柯西数列??
数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε0，有一正整数N，当m,nN时，有|xn-xm|ε成立
将柯西收敛原理推广到函数极限中则有：
函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε0，有Z属于实数，当x,yZ时，有|f(x)-f(y)|ε成立
此外柯西收敛原理还可推广到广义积分是否收敛，数项级数是否收敛的判别中，有较大的适用范围。
证明举例：
证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有极限
证：对于任意的m,n属于正整数，mn
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m
=（1/n-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
当m-n为偶数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m
=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
综上{xn}收敛，即{xn}存在极限
柯西序列的部分性质
1.对于在某度量空间内的柯西序列，它的极限不一定在相同的度量空间内。如有理柯西序列可导出无理极限。（事实上，一种实数构造就是用这种方法）
2.任何收敛列必然是柯西列，任何柯西列必然是有界序列。
柯西数列的定义是什么?
柯西收敛原理”是数学分析中的一个重要定理之一，这一原理的提出为研究数列极限和函数极限提供了新的思路和方法。
在有了极限的定义之后，为了判断具体某一数列或函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨。在经过了许多数学家的不断努力之后，终于由法国数学家柯西（Cauchy）获得了完善的结果。下面我们将以定理的形式来叙述它，这个定理称为“柯西收敛原理”。
定理叙述：
数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε0，有一正整数N，当m,nN时，有|xn-xm|ε成立
将柯西收敛原理推广到函数极限中则有：
函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε0，有Z属于实数，当x,yZ时，有|f(x)-f(y)|ε成立
此外柯西收敛原理还可推广到广义积分是否收敛，数项级数是否收敛的判别中，有较大的适用范围。
证明举例：
证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+
[(-1)^(n+1)]/n
有极限
证：对于任意的m,n属于正整数，mn
|xn-xm|=|
[(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m
|
当m-n为奇数时
|xn-xm|=|
[(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m
|
1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m
=（1/n-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
当m-n为偶数时
|xn-xm|=|
[(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m
|
1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m
=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
由柯西收敛原理得{xn}收敛
综上{xn}收敛，即{xn}存在极限
柯西序列的定义
设{xn}是距离空间X中的点列，如果对于任意的ε0，存在自然数N，当m,nN时，d(xm,xn)
ε，称{xn}是一个Cauchy列。
柯西序列的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于柯西序列定义实数、柯西序列的信息别忘了在本站进行查找喔。
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